Membedah Magic Square

http://mathmagics.wordpress.com

Sejarah Sangat Singkat Magic Square:

Magic Square sudah dikenal oleh matematikawan Cina sejak 650 Sebelum Masehi. Ada kemungkinan sudah dikenal oleh matematikawan Arab sejak abad ke-7. Menurut literatur Cina, terdapat legenda bahwa dahulu kala terdapat bencana banjir. Raja besar Yu (禹) berusaha untuk menyalurkan air ke laut. Pada saat itu, terlihat kura-kura dengan pola aneh pada tempurung. Ini yang menjadi landasan untuk membuat suatu persegi 3×3 di mana setaip baris, kolom dan diagonalnya sama. Pola ini, dengan cara tertentu, juga digunakan oleh orang-orang dalam mengendalikan sungai.
Selanjutnya, magic square terus dipelajari dan dikembangkan di berbagai tempat.

Selengkapnya, silakan baca di http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square.
Didefinsikan:
Magic Square (persegi ajaib) adalah persegi dengan petak-petak $nxn$ , dimana setiap petak diisi angka dari 1 sampai $n^2$ sedemikian rupa sehingga jumlah angka tiap baris, kolom, dan diagonalnya sama.

Mengonstruksi Magic Square:

Mengkontruksi magic square dapat dilakukan dengan komputer. Ada pula yang dilakukan secara matematis (perhitungan) manual menggunakan konsep modulo.

Di post ini, kita tidak akan menggunakan perhitungan matematis, tapi menggunakan metode-metode yang lebih mudah dipahami dan *klasik*, yaitu Siamese, Conway’s LUX, dan Doubly Even (Lozenge) Method.
Semua metode itu akan dibahas di bawah…

1. Siamese Method / de la Loubère Method

Metode ini cara paling klasik dan gampangan dalam mengonstruksi Magic Square berukuran nxn dengan n ganjil. Berikut ilustrasinya:

Langkah-langkah:

1. Tulis angla 1 pada petak tengah di baris paling atas

2. Letakan angka selanjutnya di kanan atas (arah jam 2 alah sok keren gw) dengan catatan: Jika posisinya sudah berada di paling atas, maka pindah ke paling bawah. Jika posisinya sudah berada di paling kanan, maka pindah ke paling kiri. Kalau sudah ada petak yang terisi, pindah ke petak di bawahnya.

2. Pyramid Method

Metode ini agak mirip dengan Siamese Methode. Lihat ilustrasi berikut:

Kontruksi 3×3 dengan Pyramid Method

Konstruksi persegi 5×5 dengan pyramid Method

3. Doubly Even/ Lozenge Method

Metode ini hanya berlaku persegi yang dapat dibagi 4, misalnya 4×4, 8×8 atau 12×12. Caranya cukup mudah, yaitu hanya menuliskan angka secara berutuan, kemudian beberapa petak direfleksikan terhadap titik pusat.
Sebagai contoh persegi 4×4 dibentuk sbb:

	Tuliskan 1 hingga 16
	Buat tanda silang seperti yang terlihat pada gambar di samping, kemudian refleksikan setiap petak tersebut. Perhatikan bagaimana 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, dan 16 bisa berpindah.

Persegi 8×8 dibentuk sbb:

	Tuliskan 1 hingga 64 dan berurut.
	Buat tanda silang yang terbagi menjadi 4 bagian seperti yang terlihat pada gambar di samping, kemudian refleksikan setiap petak tersebut berdasarkan titik pusat persegi. Perhatikan bagaimana 1, 4, 5, 8, …, 64 bisa berpindah…

4. Conway LUX Method

Metode ini hanya berlaku bagi persegi (4m+2) misalnya 6, 10, 14, dan seterusnya.
Metode ini menggunakan prinsip Siamese Method yang dimodifikasi.. Mengapa dinamakan LUX. Perhatikan sekumpulan array berikut.

Perhatikan urutannya. Ternyata urutan menulisnya mirip seperti kita menulis huruf L, U, dan X. Jika sudah paham konsep LUX ini, langsung saja kita ke langkah-langkah algoritma LUX method.

Langkah-langkahnya:

1.	Bagilah persegi menjadi sekumpulan petak 2×2.
2.	Dari petak-petak itu, berikan tanda sbb: (m+1) baris pertama adalah L. 1 baris berikutnya adalah U. (m-1) baris terakhir adalah X. Kemudian, tukarlah petak U di tengah dengan L di atasnya.
3.	Kerjakan dengan Siamese Method yang general. Angka 1 dimulai dari petak teratas.

Kalau dilihat dari bahasanya, mungkin pada bingung. Oleh karenanya, langsung saja kita ke contoh:

Misalkan kita akan membentuk Magic Square 10x 10 jadi m=2

1. Bagilah 10×10 menjadi sekumpulan petak 2×2.

m+1 baris pertama adalah L.
1 baris berikutnya adalah U
m-1 baris berikutnya adalah X.
Tukar U yang di tengah dengan petak di atasnya.
Proses ini menghasilkan sbb: